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　　一般来说(shuō)，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的(de)函数(shù)x= g(y)(y∈C)叫做(zuò)函数(shù)y=f(x)(x∈A)的反(fǎn)函数(shù)，记作y=f-1(x) 。

　　反(fǎn)函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函(hán)数(shù)y=f(x)的值域、定义(yì)域。

　　最具有代表(biǎo)性的反(fǎn)函(hán)数(shù)就(jiù)是对数函数与指数(shù)函(hán)数。

　　函数f(x)与它(tā)的反函数f-1(x)图(tú)象(xiàng)关(guān)于直线y=x对称；

　　函数及其反(fǎn)函数的图形关于直线y=x对称；

　　函(hán)数存在反函数的(de)充(chōng)要条件是，函数的定义域与值域(yù)是(shì)一一映射(shè)等(děng)。

　　反函数(shù)性(xìng)质：函数(shù)f(x)与它的反(fǎn)函(hán)数(shù)f-1(x)图象关于(yú)直线y=x对称；

　　函数及其反(fǎn)函数的图形关于直线y=x对称；

　　函(hán)数存在反函数(shù)的充要条(tiáo)件是，函(hán)数的定义域与值域(yù)是一(yī)一(yī)映射(shè)的。

　　1、反函(hán)数的定义域是原函数的值域，反函(hán)数的值域(yù)是原函(hán)数的(de)定(dìng)义域。

　　2、互为反函数的(de)两个(gè)函数的图像关于直线y=x对称。

　　3、原函(hán)数若是奇函数(shù)，则其(qí)反函数为奇函数。

　　4、若函数是单调函数，则一定(dìng)有反函数，且反函数的单调性(xìng)与原函数(shù)的一致。

　　5、原函数(shù)与反函数的(de)图像若有交点，则(zé)交点一定在直线y=x上或关于(yú)直线y=x对称出(chū)现。

反函数有哪些(xiē)性质

　　性(xìng)质：

　　（1）函数f(x)与(yǔ)它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称(chēng)；

　　（2）函(hán)数(shù)存在反(fǎn)函数的(de)充(chōng)要条件是，函数的定义域与值域是(shì)一一映(yìng)射；

　　（3）一个函数与它的反(fǎn)函数在相(xiāng)应区(qū)间上单调性一(yī)致；

　　（4）大部(bù)分偶函数不(bù)存在反函数（当(dāng)函数y=f(x)， 定(dìng)义域是{0} 且 f(x)=C （其(qí)中C是常数(shù)），则函数f(x)是(shì)偶(ǒu)函数且有(yǒu)反函数(shù)，其反(fǎn)函数(shù)的(de)定义(yì)域是(shì){C}，值域为{0} ）。

　　奇函(hán)数不一定(dìng)存(cún)在反函数，被(bèi)与y轴垂直的直线截(jié)时能过2个及以上点即没有反函数(shù)。

　　腔神若(ruò)一个(gè)奇函数存在(zài)反函(hán)数，则它的反函数也是(shì)奇森圆穗函数。

　　（5）一段连(lián)续的函数(shù)的单(dān)调性在(zài)对应区间内具有一致性；

　　（6）严增(zēng)（减）的函数一定有严格增（减）的反(fǎn)函数(shù)；

　　（7）反函数(shù)是相互的(de)且具有(yǒu)唯一性；

　　（8）定(dìng)义域、值域相反对应法则(zé)互逆（三(sān)反）；

　　（9）反函数的导数(shù)关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可(kě)导，且f(y)≠0，那么它的(de)反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内(nèi)也可(kě)导(dǎo)，且：

　　（10）y=x的反(fǎn)函数是它本身。

　　扩此卜(bo)展(zhǎn)资料：

　　反(fǎn)函数定义：

　　设(shè)函数y=f(x)的定(dìng)义(yì)域(yù)是D，值域(yù)是f(D)。

　　如果(guǒ)对于值域(yù)f(D)中的每一个y，在D中有且只有一(yī)个x使(shǐ)得f(x)=y，则按此对应(yīng)法则得到了一个定义在f(D)上的函数。

　　并把该函(hán)数(shù)称为函数y=f(x)的反函数(shù)，记(jì)为由(yóu)该定(dìng)义可以很快(kuài)得出函数(shù)f的定义域D和值(zhí)域f(D)恰好(hǎo)就是(shì)反函数f-1的值域和定义(yì)域(yù)，并且f-1的反函(hán)数就是f，也就是说(shuō)，函数f和(hé)f-1互为反函数(shù)，即：

　　反(fǎn)函数与原函数的复合函数等于(yú)x，即：

　　习惯上(shàng)我们用x来(lái)表(biǎo)示自变(biàn)量，用y来表示因(yīn)变(biàn)量(liàng)，于是函数y=f(x)的反函数通常写成(chéng)

　　 。

　　例如，函数  

　　的反(fǎn)函数是  。

　　相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函(hán)数y=f(x)称为(wèi)直(zhí)接函数。

　　反(fǎn)函数(shù)和直接函数(shù)的图像(xiàng)关于直线y=x对称。

　　这是(shì)因为，如果(guǒ)设(shè)(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。

　　根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即(jí)点(b,a)在(zài)反函数y=f-1(x)的图(tú)像上。

　　而点(diǎn)(a,b)和(b,a)关于直(zhí)线y=x对称，由(a,b)的任意(yì)性可(kě)知f和(hé)f-1关(guān)于y=x对称。

　　于是我们可(kě)以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个(gè)函数互为反函(hán)数。

　　这也可以(yǐ)看(kàn)做是反(fǎn)函数的一(yī)个几何定义。

　　在微积分里，f (n)(x)是用来指f的(de)n次微分的。

　　若(ruò)一函(hán)数(shù)有反(fǎn)函(hán)数，此(cǐ)函数便称为可(kě)逆的（invertible）。

　　参考资料(liào)：百度(dù)百科---反函数

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